Прямая покрашена в красный и синий цвет каждая точка прямой считается либо красной, либо синей. Докажите, что найдутся две точки одинакового цвета, ра

Прямая покрашена в красный и синий цвет (каждая точка прямой считается либо красной, либо синей). Докажите, что найдутся две точки одинакового цвета, расстояние между которыми целое число сантиметров.

  • Домашняя олимпиада ВМШ, 2013/2014 уч. годЛицей «Вторая школа».    Домашняя олимпиада ВМШ – 2013 / 2014.   
     Кто хочет, пишет решения и сдает учителю в течение 2 недель.В середине и конце года будет награждение участников.

    5 -7 класс.   
    Лист 1.
    1. Ученицы Мария, Нина, Ольга и Полина заняли первые 4 места в соревнованиях. До соревнований были сделаны 3 прогноза: 1) Ольга 2-я, Полина 3-я; 2) Ольга 1-я, Нина 2-я; 3) Мария 2-я, Полина 4-я. В каждом прогнозе оказалась верной только одна половина. Кто какое место занял?

    2. Каждая монета весит целое число граммов. Имеется 10 настоящих монет и 11 фальшивых, которые на 1 г легче настоящих. Отметили одну монету. Как с помощью одного взвешивания на весах со стрелкой узнать, какая это монета, настоящая или фальшивая? (На вид монеты одинаковые, класть на весы можно любое число монет, весы показывают общий вес).

    3. В замке одинаковые комнаты расположены по кругу и последовательно соединены коридорами. В каждой комнате есть люстра и выключатель. Можно ходить по коридорам и при желании включать или выключать свет. Известно, что комнат не больше ста. Как узнать точное число комнат, если в начальный момент некоторые люстры горят?

    4. Из четырех различных цифр составили два четырехзначных числа – наибольшее из всех возможных и наименьшее. Сумма этих чисел 10477. Найдите исходные цифры. 
    Лист 2.
    1. На батоне колбасы нарисованы тонкие кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 равных кусков, если по жёлтым – 7 равных кусков, а если по зелёным – 11 равных кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх цветов?

    2. Астролог считает номер года счастливым, если в его записи используются в любом порядке четыре цифры подряд. Например, 2013 год такой. А когда, по мнению астролога, был предыдущий счастливый год? (Цифры идут по кругу, например, идут подряд 9,0,1,2).

    3. В классе 26 человек, они получили за контрольную только 3, 4, 5. Всего они набрали 111 баллов. Каких отметок они получили больше: троек или пятерок и на сколько больше?

    4. В левом нижнем углу шахматной доски (8×8) стоит ладья. Двое по очереди двигают ее на любое число клеток вправо или вверх. Кто первым поставит ладью в правый верхний угол, тот победил. Кто из игроков  может гарантировать себе победу: «первый» или «второй»?
    Лист 3.1. Прямая покрашена в красный и синий цвет (каждая точка прямой считается либо красной, либо синей). Докажите, что найдутся две точки одинакового цвета, расстояние между которыми целое число сантиметров.

    2. На координа