С помощью векторов докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между двумя отрезками, на

с помощью векторов докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между двумя отрезками, на которые он делит гипотенузу.

    (k + p)^2 = (k - h)^2 + (p + h)^2; 

    Поэтому

    CA = k - h;

    Поскольку  АВС прямоугольный треугольник, то

    k^2 + 2kp + p^2 = k^2 - 2kh + h^2 + p^2 + 2ph + h^2;

    (*****первая точка означает начало вектора, вторая - конец, к примеру, ОА = - АО)

    kp = h^2; чтд.

    Скалярное произведение kp = kp (то есть произведение длин отрезков гипотенузы), поскольку эти векторы коллинеарны. 

    и стороны треугольника можно записать так

    Раскрываем скобки.

    CB = p + h;

    Вектор h перпендикулярен векторам k и p, => скалярные произведения kh и ph равны 0. 

    BA = k + p

  • Пусть основание высоты (на гипотенузе) - это точка О. С - вершина прямого угла. Тогда высота - это вектор h = ОС, отрезки гипотенузы k = OA; p = ;