Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС в точке Р. найдите отношение площади треугольника АВ

через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС в точке Р. найдите отношение площади треугольника АВК и к площади КРСМ.

    Есть очень много способов, я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е. 

    Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны). 

    Skpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;

    и там я еще два раза использовал тот же прием при вычислении Sakm. 

    Я намеренно не объясняю, почему из того, что СР = ВС*2/3; следует, что Sacp = S*2/3;

    Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)

     

    Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;

    Sakm = S/4;

    Ответ 12/5;

  • Первое, что надо сделать - найти отношение ВР/СР;

    Конечно, если высоты треугольников равны, их площади относятся, как стороны, к которым эти высоты проведены. Я тут это раз 100 уже объяснял, и потом - если постоянно это все расписывать - каждое решение разбухнет до размеров учебника по геометрии.

    Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то 

    Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).

    Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна

    Итак, ВЕ II AC; 

     

  • Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР