В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскост

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC

    MF - высота

    треугольник  MFB - прямоугольный

    BK - медиана треугольника  MBD

    точка К - середина ребра MD ;  KD = MD /2 = 8/2=4

    треугольники  MPL  ~ MCA    подобные

    боковые ребра  MA=MB=MC=MD =8

    площадь   сечения(четырехугольника  BPKL)     

    cos KBD = ( KD^2 - (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 - (5^2+(3√2)^2) )/ (-2*5*3√2)= 9/(10√2)

    Sс = PL*BK *sin<BEP /2 = 2√2*5*sin90 /2 = 5√2         

    PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 3√2 * √238/3 /√238/2 =2√2

    пересечение диагоналей  точка  F  :  BF =FD = BD/2 =3√2 /2 =1.5√2

    ME =MF -EF =√238/2- √238/6= √238/3

    треугольник  EBF - прямоугольный

    по условию

    по теореме косинусов

    по теореме Пифагора EF =√(BE^2 - BF^2) =√( (10/3)^2 - (1.5√2)^2) =√238/6

    BE = BF / cos KBD = 1.5√2 / [ 9/(10√2)] = 10/3

    стороны основания  AB=BC=CD=AD =3

    ABCD -квадрат

    длина медианы  BK = 1/2 √(2 BM^2 +2 BD^2  - MD^2 ) =1/2 √(2*8^2 +2*(3√2)^2  - 8^2 ) =5

  • искомое сечение -  симметричный четырехугольник  BPKL

    диагонали  PL , BK  пересекаются под углом 90 град

    MF - высота

    Ответ  5√2

  • по теореме Пифагора MF =√( MB^2 -BF^2) =√( 8^2- (1.5√2)^2 ) =√238/2

    диагональ  AC = BD =  3√2